หน้าเว็บ

youtube

วันพฤหัสบดีที่ 24 มกราคม พ.ศ. 2556

ชื่อ โครงงานการใช้พลังงานในโรงเรียนอย่างคุ้มค่าและการอนุรักษ์พลังงานของเครื่องทำน้ำเย็น


โครงงงานสำรวจและปฏิบัติการ การประหยัดพลังงาน โรงเรียนซับบอนวิทยาคม
กลุ่มสาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์ โรงเรียนซับบอนวิทยาคม
สังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 40
ชื่อ โครงงาน
การใช้พลังงานในโรงเรียนอย่างคุ้มค่าและการอนุรักษ์พลังงานของเครื่องทำน้ำเย็น
จัดทำโดย
นายธนากร   ลากั้ง
นางสาวศศิมา  เสนามนตรี
ที่ปรึกษา
นายวีรชาติ   มาตรหลุบเลา
วัตถุประสงค์
1.เพื่อลดการใช้จ่ายไฟฟ้าในโรงเรียน
2.เพื่อนปลูกฝังจิตสำนึกในบุคคลากรในโรงเรียนและนักเรียนมีให้มีความประหยัด
3.เพื่อลดการใช้จ่ายที่สิ้นเปลืองในโรงเรียน
4.เพื่อรณรงค์ให้นักเรียนและบุคลากรในโรงเรียนช่วยกันประหยัดพลังงาน


หลักการและเหตุผลของโครงงาน
      เนื่องจากค่าไฟฟ้าในโรงเรียนซับบอนวิทยาคมมีค่าไฟฟ้าที่สูงขึ้นในแต่ละเดือนเราต้องเสียค่าไฟฟ้าเดือนละ 24,000 บาท ถ้ารวมเป็นปีโรงเรียนจะเสียค่าไฟฟ้าประมาณ 120,000 บาท จึงมีแนวคิดว่าเราควรร่วมมือกันประหยัดค่าไฟฟ้าลงให้ได้มากที่สุด
เอกสารอ้างอิง
         การคำนวณไฟฟ้าต่อเดือน ในหนึ่งวันเราต้องเปิดเครื่องทำน้ำเย็นเป็นเวลา 24 ชั่วโมง และโรงเรียนของเรามีเครื่องทำน้ำเย็นทั้งหมด 4 เครื่อง ในหนึ่งวันเราใช้ไฟฟ้า สูงถึง 22 หน่วย คิดเป็นค่าไฟฟ้าได้ 35 บาท/วัน ซึ่งคิดเป็นเดือนเราต้องสูญเสียค่าไฟฟ้าไปกับเครื่องทำน้ำเย็นถึง 1,050 บาท/เดือน ซึ่งเป็นการสิ้นเปลืองอย่างยิ่ง ซึงโครงงานได้มีแนวคิดที่จะประหยัดค่าไฟฟ้าให้ลดลงได้โดยการ เปิดเครื่องทำน้ำเย็นให้น้อยลง โดยคำนึงถึงความเหมาะ เราควรเปิดเครื่องทำน้ำเย็นประมาณ 1-2 เครื่อง และควรกำหนดการปิด-เปิดให้อยู่ในเวลาที่เหมาะสมในช่วงที่ต้องใช้งาน เช่น เปิดในช่วงเวลา สาย ประมาณ 09.00 น.และปิดในช่วงเวลาเลิกเรียน ประมาณ 15.00 น. เป็นต้น
ซึ่งเราได้คำนวณค่าไฟฟ้าจากแนวคิดที่เราจัดทำขึ้น ในหนึ่งวันเราจะใช้ไฟฟ้าแค่ 4 หน่วย ซึ่ง 5 หน่วยแรกเราไม่ต้องเสียค่าไฟฟ้า ใน 1 เดือนเราจะใช้ไฟฟ้าไม่เกิน 95 หน่วย คิดเป็นเงินได้ 275 บาท/เดือน เราจะลดค่าไฟฟ้าลงได้ถึง 775 บาท/เดือน จากค่าไฟฟ้าที่โรงเรียนจ่ายไป


ลำดับ
เรื่อง
สถานที่
ข้อเสนอแนะ
1
การใช้ไฟฟ้าของเครื่องทำน้ำเย็น
1.โรงอาหาร
2.หน้าอาคารพลอย
3.หน้าอาคารอาคารไพลิน
4.หลังอาคารเพชร
ในเวลาหลังจากนักเรียนกลับบ้านควรให้นักการไปปิดเครื่องทำน้ำเย็น


ปัญหาและวิธีแก้ไข
      ปัญหาที่ 1 เพราะว่าเราเปิดเครื่องทำน้ำเย็นตลอด 24 ชั่วโมง
      ปัญหาที่ 2 เครื่องทำน้ำเย็นมีหลายเครื่อง
วิธีแก้ไข  1. เราควรกำหนดเวลาปิด – เปิดเครื่องทำน้ำเย็น
2. เราควรลดเครื่องทำน้ำเย็นลงจาก 4 เครื่องให้เหลือ 2 เครื่อง
3. เราควรให้คำแนะนำกับคนอื่นๆในโรงเรียน
4. เราควรออกนโยบายดพื่อให้ความรู้ทุกคนในโรงเรียน


เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันพฤหัสบดีที่ 12 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ


เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ
-          ปริมาณทางฟิสิกส์








-          ปริมาณเวกเตอร์
-          การเคลื่อนที่ของวัตถุ
-          ระยะทาง
-          การกระจัด
-          อัตราเร็ว
-          ความเร็ว
-          อัตราเร่ง
-          ความเร่ง
-          การหาความชันของกราฟ
-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง s-t, v-t และ a-t
-          การหาความเร็วและความเร่งจากกราฟ
-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว(v) และ เวลา (t)
-          สมการการเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งคงที่
-          สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่งด้วยความเร่งคงที่
-          การคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้แรงดึงดูดของโลก
-          ความเร็วสัมพัทธ์(Relative Velocity)
-          การเคลื่อนที่ในสองมิติและสามมิติ
-          เวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในสองมิติ
-          ตัวอย่างโจทย์ เรื่องการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันอังคารที่ 10 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ


เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

-          ปริมาณทางฟิสิกส์


1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar )
คือ ปริมาณที่จะมีแต่ขนาดเท่านั้น ไม่มีทิศทาง การคำนวณสามารถบวก ลบ คูณ หาร ได้ทั่ว ๆ ไป                             
ตัวอย่าง ปริมาณสเกลาร์ เช่น ระยะทาง ( Distance ) มวล ( Mass ) อัตราเร็ว ( Speed ) ความหนาแน่น ( Density )
2. ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector )
คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาด และทิศทาง การคำนวณจะใช้วิธีต่าง ๆ ที่แตกต่างจากการคำนวณทั่วไป
ตัวอย่าง ปริมาณเวกเตอร์ เช่น การกระจัด ( Displacement ) แรง ( Force ) ความเร็ว ( Velocity )  
ความเร่ง ( Acceleration )
การรวมเวกเตอร์   
คือ การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ 
เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ ( Resultant Vector )
มี 2 วิธีดังนี้
1) วิธีวาดรูป ( วิธีหัวต่อหาง )
ทำได้ โดยนำเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง
โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก หางเวกเตอร์แรก ไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย



จากรูป ใช้กฏของโคไซน์ ( Cosine's Law ) จะได้ว่า  =     
2) วิธีการทางคณิตศาสตร์ ( วิธีการสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ) 
ถ้ามีเวกเตอร์ย่อย 2 อัน สามารถนำมารวมได้โดยแทนขนาดและทิศทาง ด้วยด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ที่ประกอบมุมในจุดนั้น เส้นทแยงมุมที่ลากจากจุดนั้นไปยังมุมตรงข้ามจะแทนทั้งขนาด และทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์
การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก  
ส่วนการลบเวกเตอร์ให้ทำคล้าย ๆ กันกับการบวกเวกเตอร์เพียงแต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ
ที่มา : http://www.rsu.ac.th/science/physics/kan/general_phy/vector/ve3.gif
 





-          ปริมาณเวกเตอร์















  ปริมาณเวกเตอร์ เขียนแทนได้ด้วย ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง (derected line segment)
โดยใช้ความยาวของส่วนของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ และใช้ลูกศรในการบอกทิศทางของเวกเตอร์ ดังรูป











-          การเคลื่อนที่ของวัตถุ











ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่จะเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องของการเคลื่อนที่ ซึ่งในการเคลื่อนที่จะต้องประกอบไปด้วยองค์ประกอบ 3 ส่วน
Y วัตถุที่เคลื่อนที่ จะหมายจึงวัตถุที่มีลักษณะเป็นของแข็งที่คงรูปทรงอยู่ได้
Y ผู้สังเกต เป็นผู้ที่ศึกษาวัตถุที่เคลื่อนที่ โดยผู้สังเกตจะต้องอยู่นอกวัตถุที่เคลื่อนที่
Y จุดอ้างอิง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะต้องมีการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุดังนั้นเราจะต้องมีจุดอ้างอิง
เพื่อบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป

1. ระยะทาง (Distance) การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเริ่มนับตั้งแต่จุดเริ่มต้นที่เราสังเกตเป็นจุดอ้างอิงแล้ววัดระยะทางตามแนวทางที่วัตถุเคลื่อนที่
ไปตามแนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ
2. การกระจัด (Displacement) เป็นการบอกตำแหน่งของวัตถุหลังจากการที่เคลื่อนที่ไปแล้วในช่วงเวลาหนึ่งโดยจะบอกว่าห่างจากจุดเริ่มต้นเป็นระยะ
เท่าไร และอยู่ทางทิศไหนของจุดเริ่มต้น ดังนั้นการกระจัดเป็น ปริมาณเวกเตอร์ เพราะมีทั้งขนาดและทิศทาง
*********ถ้าวัตถุเคลื่อนที่กลับมาสู่จุดเริ่มต้น การกระจัดจะมีค่าเป็นศูนย์**********



3. เวลา (Time) การวัดเวลาเรานับ ณ จุดเริ่มสังเกต ซึ่งขณะนั้นวัตถุอาจจะหยุดนิ่ง หรือเคลื่อนที่อยู่ก็ตาม ค่าของเวลาจะมีความสัมพันธ์กับระยะทาง เมื่อเวลาผ่านไป ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ก็จะเพิ่มขึ้น ในบางครั้งอาจจะมีข้อมูลของระยะทางกับเวลาสัมพันธ์กัน
4. อัตราเร็ว (Speed) หมายถึง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที
 
V แทน อัตราเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)
S แทน ระยะทาง มีหน่วยเป็น เมตร (m)
t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )
5. ความเร็ว (Velocity) หมายถึง การกระจัดของวัตถุที่เปลี่ยนไปในหน่วยเวลา

 แทน ความเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)
 แทน การกระจัด มีหน่วยเป็น เมตร (m)
t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )



6. ความเร่ง (Acceleration) ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา

 แทน ความเร่ง มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที2 (m/s2 )
 แทนความเร็วที่เปลี่ยนไป มีหน่วยเป็น เมตร/ วินาที(m/s)
 แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )
ลักษณะของการเคลื่อนที่ลักษณะของการเคลื่อนที่แบ่งได้ 4 ลักษณะ คือ
1. การเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรง
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบนี้เป็นพื้นฐานของการเคลื่อนที่ เพราะทิศทางการเคลื่อนที่จะมีทิศทางเดียว
แต่อาจจะเคลื่อนที่ไป-กลับได้ รูปแบบการเคลื่อนที่อาจจะแตกต่างกันออกไป ตัวอย่างเช่น
- การเคลื่อนที่ของรถไฟบนราง
- การเคลื่อนที่ของรถบนถนนที่เป็นแนวเส้นตรง
- การเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก
2. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีแนวเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นรูปโค้งพาราโบลา และเป็นพาราโบลาทางแกน y
ที่มีลักษณะคว่ำการที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้งเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เข้าไปในบริเวณที่มีแรงกระทำต่อ
วัตถุไม่อยู่ในแนวเดียวกับทิศของการเคลื่อนที่




3. การเคลื่อนที่แบบวงกลม
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบจุดๆหนึ่ง โดยมีรัศมีคงที่ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ทิศทางของการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนไปตลอดเวลา ทิศของแรงที่กระทำจะตั้งฉากกับทิศของการเคลื่อนที่
แรงที่กระทำต่อวัตถุจะมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงเรียกว่า “แรงสู่ศูนย์กลาง”
ในขณะเดียวกัน จะมีแรงต้านที่ไม่ให้วัตถุเข้าสู่ศูนย์กลาง เราเรียกว่า “แรงหนีศูนย์กลาง” แรงหนีศูนย์กลางจะเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง วัตถุจึงจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้
4. การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จะเป็นการเคลื่อนที่ที่มีลักษณะ
พิเศษ คือ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาที่เราเรียกว่า แกว่ง หรือ สั่น การเคลื่อนที่แบบนี้จะเป็นการเคลื่อนที่อยู่ในช่วงสั้นๆ มีขอบเขตจำกัด เราเรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude) โดยนับจากตำแหน่งสมดุล ซึ่งอยู่ตรงจุดกลางวัดไปทางซ้ายหรือขวา เช่น การแกว่งของชิงช้า หรือยานไวกิงในสวนสนุก
รูป การสั่นและแกว่งของวัตถุ










-          ระยะทาง




     เราทราบกันดีว่าระยะทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุดบนพื้นราบคือความยาวของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองนั้น ดังนั้นการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดนี้ เราอาจใช้เส้นเชือกหรือลวดขึงให้ตึงระหว่างสองจุดนั้น แล้วนำไปตรวจสอบความยาวกับไม้เมตรหรือไม้ฟุต ก็จะทราบความยาวที่ต้องการ ในทางช่างเขาใช้เส้นลวดที่แบ่งสเกลความยาวแล้ววัดระยะทางได้ทันที ถ้าระยะทางยาวกว่าเส้นลวดที่วัดก็จะต้องแบ่งความยาวออกเป็นช่วงๆ วัดความยาวแต่ละช่วงแล้วนำมารวมกัน
          ในการวัดระยะทางจริงๆ ระหว่างจุดสองจุดนี้ บางครั้งเราไม่อาจจะใช้เส้นลวดขึงให้ผ่านจุดทั้งสองได้ เช่น การวัดความกว้างของแม่น้ำ หรือมีสิ่งขวางกั้นระหว่างจุดทั้งสองนั้น กรณีเช่นนี้เราต้องวัดระยะโดยอ้อม และใช้หลักวิชาคณิตศาสตร์ช่วยคำนวณระยะทางที่ต้องการออกมาอีกครั้งหนึ่ง เช่น เราทราบว่าสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมอีกสองมุมเท่ากัน คือ เท่ากับ 45 องศา ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมนั้นจะยาวเท่ากันพอดี เราเรียกสามเหลี่ยมชนิดนี้ว่า  สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
          เราอาจใช้หลักวิชาเรขาคณิตในการคำนวณหาความสูง ชาวกรีกและชาวอียิปต์โบราณได้ใช้วิธีการนี้มานานหลายพันปีแล้ว หลักการของวิธีนี้ใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามเท่ากันสองรูป ย่อมมีด้านทั้งสามเป็นสัดส่วนกันและกัน  เราเรียกสามเหลี่ยมทั้งสองว่าเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
          เมื่อวัดความสูงของต้นไม้ เช่น BC แทนความสูงของต้นไม้ วัดระยะจากโคนไม้คือ  B ไปยังจุด A จากจุด D ซึ่งอยู่ระหว่าง A และ B ใช้ไม้ที่ทราบขนาดความสูงแล้ววางให้ตั้งฉากกับพื้นดิน และเล็งจากจุด A ให้จุด A จุด  E และจุด C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ BC/DE =AB/ADหรือความสูง  BC  =  (AB.DE) /AD
เราอาจใช้เงาของวัตถุที่เกิดจากแสงอาทิตย์วัดความสูงก็ได้ เช่น ให้ AB เป็นความยาวของเงาต้นไม้ซึ่งเกิดจากดวงอาทิตย์ ตรงจุด A ซึ่งเป็นตำแหน่งปลายของเงาต้นไม้ เอาไม้ AD ซึ่งทราบขนาดความยาวแล้วมาปักตั้งฉากกับพื้นดิน เงาของ  AD จะทอดยาวออกไปถึงจุด E วัดระยะ AB และ  AE โดยอาศัยคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะได้  BC/AD=  BA/AEดังนั้น BC = AD.AB/AE
         วิธีการสร้างเครื่องมือวัดความสูงแบบง่ายๆ กระทำได้ดังนี้หากระดาษแข็งหรือไม้แผ่นบางๆขนาดกว้าง 10 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว แบ่งสเกลทางด้านกว้างตั้งแต่ 0 ถึง 10 จะแบ่งสเกลของทุกหนึ่งนิ้วให้ละเอียดออกไปเป็น 10 ช่วงเล็กๆ เท่ากันทั้งหมดก็ได้ใช้ท่อนไม้ขนาดกว้าง 1 นิ้ว หนา 1 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว ติดที่ขอบบนของกระดาษแข็งให้แน่น ส่วนของกระดาษแข็งที่อยู่ใต้ท่อนไม้จะเหลือกว้าง 10 นิ้ว ยาว 10  นิ้ว เอาด้ายถ่วงด้วยน้ำหนักพอสมควรมาผูกที่ปลายท่อนไม้ทางด้านขวามือ เมื่อวางท่อนไม้ขนานกับแนวระดับราบ เส้นด้ายจะอยู่ในตำแหน่งของเลข 0  ของสเกลข้างล่าง ติดห่วงเล็กๆ สองห่วงไว้บนท่อนไม้ให้ห่างจากกันประมาณ 9  นิ้ว ห่วงทั้งสองนี้ใช้สำหรับเล็งไปยังจุดที่ต้องการ เช่น ถ้าจะวัดความสูงของ  AB ก็ยกแผ่นไม้นี้เล็งไปยังจุด  A ซึ่งเป็นยอดสูงสุด อ่านตัวเลขที่เส้นดิ่งผ่านขอบล่างของแผ่นไม้ สมมุติว่าได้ n หน่วย วัดระยะจากจุดที่สังเกตไปยัง AB  สมมุติว่าได้  s  เมตร เอา n และ  s  คูณกันแล้วหารด้วย  10  แล้วบวกด้วยระยะที่จุดสังเกตอยู่สูงจากพื้นดิน   สมมุติว่าเท่ากับ a เมตร  ดังนั้นจะได้ความสูงของ  AB  คือ  h  จากสูตร
                           h  =  a + nxs
                                                      10
                ถ้า        a  = 1.6 เมตร  n = 3  หน่วย  s  =  30  เมตร
                จะได้ความสูง   h  = 1.6 + 3x30
                                                                     10
                                      = 10.6  เมตร
 เราอาจใช้สูตรในวิชาตรีโกณมิติหาระยะทางและความสูง โดยอาศัยด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม เช่น เราต้องการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้าม  คือ  A  และ  B  เป็นจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้ามที่เราต้องการวัดระยะทาง สมมุติว่าระยะทาง AB เท่ากับ x  เมตร  C และ D เป็นจุดซึ่งเราสามารถวัดระยะทางได้ s เมตร บนฝั่งซึ่งเรายืนอยู่  วัดมุม DCB  ได้มุม a วัดมุม  BCA  ได้มุม a'  วัดมุม  CDA  และ  ADB  ได้มุม  b และ  b' ตามลำดับ โดยใช้กฎเกณฑ์ในวิชาตรีโกณมิติเราสามารถแสดงได้ว่า

                             AC  = a sin b / sin (a+a'+ b)             และ         BC  = a sin (b+b') / sin (a+b+b')และหาความยาว  AB  ได้จากสูตร
                               x2 =  AC2 + BC2 - 2AB.BC cos a'

          จากตารางแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราก็สามารถคำนวณหาระยะทาง AB  ได้ทันที

           เราอาจจะประดิษฐ์เครื่องวัดมุมแบบง่ายๆ ได้ดังนี้ ใช้กระดาษแข็งหรือไม้อัดก็ได้มาตัดเป็นแผ่นวงกลมรัศมีประมาณ  3  นิ้ว เขียนวงกลมศูนย์กลางร่วมกันกับวงแรกใช้รัศมี 2 1/2 นิ้ว บนเส้นรอบวงกลมเล็กแบ่งออกเป็น 36  ส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนจะปิดมุมที่ศูนย์กลาง 10 องศาเท่ากัน ถ้าต้องการให้ละเอียดมากขึ้นก็ใช้ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งมุมเป็นองศาซึ่งเรียกว่า ไม้โพรแทรกเตอร์ แบ่งสเกลบนวงกลมเล็กให้ครบ 360 องศาเลยก็ได้ ใช้เส้นลวดหรือเข็มเล็กๆ ที่สามารถเจาะรูที่ก้นได้สองอัน ใช้เข็มหมุดตรึงก้นเข็มทั้งสองไว้ตรงจุดศูนย์กลางวงกลม และให้เข็มทั้งสองสามารถหมุนไปได้รอบๆ แบบเข็มนาฬิกา เมื่อจะวัดมุมที่ใดก็เล็งจากหมุดตรงกลางให้เส้นลวดทั้งสองอยู่ในแนวที่ต้องการ ก็จะสามารถอ่านมุมระหว่างแนวทั้งสองได้ทันที 



-          การกระจัด







    ตำแหน่ง (position) คือการแสดงออก หรือการบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของ ที่เราพิจารณา อยู่ที่ใด เราจะคิดถึงวัตถุที่มีขนาดเล็กก่อน ซึ่งจะสามารถบอกได้ชัดเจนว่ามี ตำแหน่งอยู่ที่ใด โดยเฉพาะ บนเส้นตรงเส้นหนึ่งเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิง จุดอ้างอิงเป็นปัจจัย จำเป็นเพื่อความชัดเจน อาจจะเป็นจุด ศูนย์ของโคออร์ดิเนตในพิกัด xy เนื่องจากเราจะ พิจารณากรณีหนึ่งมิติก่อน เราจะใช้เฉพาะแกน x และอาจบอกว่าวัตถุของเราอยู่ที่ตำแหน่ง ที่เวลา  อันหมายถึงวัตถุอยู่ที่ระยะทาง   จาก
จุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลาดังกล่าว ถ้าวัตถุเลื่อนไปอยู่ที่ ที่เวลา   แสดงว่าวัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา และ  ตำแหน่งทั้งสองของวัตถุอาจแสดงดังรูปที่ 1

                       รูปที่ 1 การแสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุบนแกน 
           การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก  ไปเป็น  หรือ เรียกว่าการกระจัด (displacement) การกระจัดมีทิศในทีนี้มีทิศจาก ไป  ดังรูป โดยทั่วไป การกระจัด หมายถึงการเปลี่ยนแปลงของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ




-          อัตราเร็ว





อัตราเร็ว (สัญลักษณ์: v) คืออัตราของ การเคลื่อนที่ หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งก็ได้ หลายครั้งมักเขียนในรูป ระยะทาง d ที่เคลื่อนที่ไปต่อ หน่วย ของ เวลา t
อัตราเร็ว เป็นปริมาณสเกลาร์ที่มีมิติเป็นระยะทาง/เวลา ปริมาณเวกเตอร์ที่เทียบเท่ากับอัตราเร็วคือความเร็ว อัตราเร็ววัดในหน่วยเชิงกายภาพเดียวกับความเร็ว แต่อัตราเร็วไม่มีองค์ประกอบของทิศทางแบบที่ความเร็วมี อัตราเร็วจึงเป็นองค์ประกอบส่วนที่เป็นขนาดของความเร็ว
ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ อัตราเร็วคือ
v = \frac {d}{t}
หน่วยของอัตราเร็ว ได้แก่
มัค 1 ≈ 343 m/s ≈ 1235 km/h ≈ 768 mi/h (ดู อัตราเร็วเสียง สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม)
c = 299,792,458 m/s
  • การเปลี่ยนหน่วยที่สำคัญ
1 m/s = 3.6 km/h
1 mph = 1.609 km/h
1 knot = 1.852 km/h = 0.514 m/s
ยานพาหนะต่าง ๆ มักมี speedometer สำหรับวัดอัตราเร็ว
วัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามแนวราบ พร้อม ๆ กับแนวดิ่ง (เช่น อากาศยาน) จะแยกประเภทเป็น forward speed กับ climbing speed


อัตราเร็วเฉลี่ย

อัตราเร็วในรูป สมบัติเชิงกายภาพ มักแทนอัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่ง ในชีวิตจริงเรามันใช้ อัตราเร็วเฉลี่ย (ใช้สัญลักษณ์ \tilde{v}) ซึ่งก็คือ อัตรา ของ ระยะทาง รวม (หรือ ความยาว) ต่อช่วง เวลา
ยกตัวอย่างเช่น ถ้าคุณเคลื่อนที่ได้ 60 ไมล์ในเวลา 2 ชั่วโมง อัตราเร็ว เฉลี่ย ของคุณในช่วงเวลานั้นคือ 60/2 = 30 ไมล์ต่อชั่วโมง แต่อัตราเร็วที่ขณะใดขณหนึ่งย่อมเปลี่ยนแปลงต่างกันไป
ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
\tilde{v} = \frac{\Delta l}{\Delta t}.
อัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่งซึ่งนิยามเป็นฟังก์ชันของ เวลา ในช่วงเวลา [t_0, t_1] จะให้อัตราเร็วเฉลี่ยในรูป
\tilde{v} = \frac{\int_{t_0}^{t_1} v (t) \, dt}{\Delta t}
ในขณะที่อัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่งซึ่งนิยามเป็นฟังก์ชันของ ระยะทาง (หรือ ความยาว) ในช่วงความยาว [l_0, l_1] จะให้อัตราเร็วเฉลี่ยในรูป
\tilde{v} = \frac{\Delta l}{\int_{l_0}^{l_1} \frac{1}{v (l) } \, dl}
บ่อยครั้งที่มีคนคาดโดยสัญชาตญาณ แต่ผิด ว่าการเคลื่อนที่ครึ่งแรกของระยะทางด้วยอัตราเร็ว v_{a} และระยะทางครึ่งที่สองด้วยอัตราเร็ว v_{b} จะให้อัตราเร็วเฉลี่ยรวมเป็น \tilde{v} = \frac{v_a + v_b}{2} ค่าที่ถูกต้องต้องเป็น \tilde{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_a} + \frac{1}{v_b}}
(ระลึกไว้ว่า อย่างแรกเป็น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในขณะที่อย่างที่สองเป็น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก)
อัตราเร็วเฉลี่ยสามารถหาได้จาก distribution function ของอัตราเร็วได้เช่นกัน (ทั้งในรูประยะทางหรือเวลาก็ตาม)
v \sim D_t\; \Rightarrow \; \tilde{v} = \int v D_t (v) \, dv
v \sim D_l\; \Rightarrow \; \tilde{v} = \frac{1}{\int \frac{D_l (v) }{v} \, dv}


-          ความเร็ว

ระวังสับสนกับ อัตราเร็ว
ในทางฟิสิกส์ ความเร็ว คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งต่อหน่วยเวลา มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที (m/s) ในหน่วยเอสไอ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยอัตราเร็วและทิศทาง ขนาดของความเร็วคืออัตราเร็วซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ ตัวอย่างเช่น "5 เมตรต่อวินาที" เป็นอัตราเร็ว ในขณะที่ "5 เมตรต่อวินาทีไปทางทิศตะวันออก" เป็นความเร็ว ความเร็วเฉลี่ย v ของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปด้วยการกระจัดขนาดหนึ่ง ∆x ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรนี้
\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t}
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคือความเร่ง คือการอธิบายว่าอัตราเร็วและทิศทางของวัตถุเปลี่ยนไปอย่างไรในช่วงเวลาหนึ่ง และเปลี่ยนไปอย่างไร ณ เวลาหนึ่ง

[แก้]สมการการเคลื่อนที่

ดูบทความหลักที่ สมการการเคลื่อนที่
เวกเตอร์ความเร็วขณะหนึ่ง v ของวัตถุที่มีตำแหน่ง x (t) ณ เวลา t และตำแหน่ง x (t + ∆t) ณ เวลา t + ∆t สามารถคำนวณได้จากอนุพันธ์ของตำแหน่ง
\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{{\mathbf{x}(t+\Delta t)-\mathbf{x}(t)} \over \Delta t} = {\mathrm{d}\mathbf{x} \over \mathrm{d}t}
สมการของความเร็วของวัตถุยังสามารถหาได้จากปริพันธ์ของสมการของความเร่ง ที่วัตถุเคลื่อนที่ตั้งแต่เวลา t0 ไปยังเวลา tn
วัตถุที่มีความเร็วเริ่มต้นเป็น u มีความเร็วสุดท้ายเป็น v และมีความเร่งคงตัว a ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t ความเร็วสุดท้ายหาได้จาก
\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{a} \Delta t
ความเร็วเฉลี่ยอันเกิดจากความความเร่งคงตัวจึงเป็น \tfrac {(\mathbf{u} + \mathbf{v})}{2} ตำแหน่ง x ที่เปลี่ยนไปของวัตถุดังกล่าวในช่วงเวลานั้นหาได้จาก
\Delta \mathbf{x} = \frac {( \mathbf{u} + \mathbf{v} )}{2} \Delta t
กรณีที่ทราบเพียงความเร็วเริ่มต้นของวัตถุเพียงอย่างเดียว คำนวณได้ดังนี้
\Delta \mathbf{x} = \mathbf{u} \Delta t + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2
และเมื่อต้องการหาตำแหน่ง ณ เวลา t ใด ๆ ก็สามารถขยายนิพจน์ได้ดังนี้
\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}(0) + \Delta \mathbf{x} = \mathbf{x}(0) + \mathbf{u} \Delta t + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2



-          อัตราเรความหมายของความเร่งคงตัว

บางครั้งวัตถุเร่งจะเปลี่ยนความเร็วตามปริมาณที่เท่ากันในแต่ละวินาที ตามที่ระบุไว้ในวรรคก่อนตารางข้อมูลข้างต้นแสดงวัตถุเปลี่ยนแปลงความเร็วโดย 10 m / s ในแต่ละที่สองติดต่อกัน นี้จะเรียกว่าการเร่งความเร็วคงที่ตั้งแต่ความเร็วที่มีการเปลี่ยนแปลงตามจำนวนเงินที่คงที่ในแต่ละวินาที วัตถุที่มีความเร่งคงที่ไม่ควรจะสับสนกับวัตถุที่มีความเร็วคงที่ ไม่หลงกล! ถ้าวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงของความเร็วไม่ว่าจะโดยจำนวนเงินที่คงที่หรือจำนวนเงินที่แตกต่างกัน - แล้วมันเป็นวัตถุที่เร่ง และวัตถุที่มีความเร็วคงที่ไม่ได้เร่ง ตารางข้อมูลข้างล่างนี้แสดงถึงการเคลื่อนไหวของวัตถุด้วยความเร่งคงที่และอัตราเร่งที่เปลี่ยนแปลงโปรดทราบว่าแต่ละวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

เนื่องจากวัตถ​​ุที่เร่งตัวขึ้นจะมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วของพวกเขาหนึ่งสามารถพูดได้ว่าระยะทางที่เดินทางที่ / เวลาไม่ได้เป็นค่าคงที่ วัตถุที่ตกเช่นมักจะเร่งตามที่ตกลง ถ้าเราจะสังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกอิสระ ( เคลื่อนไหวฤดูใบไม้ร่วงฟรี จะมีการหารือในรายละเอียดในภายหลัง) เราจะสังเกตได้ว่าค่าเฉลี่ยของวัตถุมีความเร็วประมาณ 5 เมตร / วินาทีในวินาทีแรกประมาณ 15 m / s ในวินาทีที่สองประมาณ 25 เมตร / วินาทีในครั้งที่สองที่สามประมาณ 35 m / s ในสองสี่ ฯลฯ ฟรีของเราตกวัตถ​​ุจะเร่งอย่างต่อเนื่อง ป.ร. ให้ไว้เหล่านี้เป็นค่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงหยุดติดต่อกันช่วงเวลา 1-ที่สองเราอาจกล่าวได้ว่าวัตถุจะตกอยู่ 5 เมตรในสองครั้งแรกที่ 15 เมตรในที่สองที่สอง (สำหรับระยะทางรวม 20 เมตร), 25 เมตรในไตรมาสที่สาม ที่สอง (สำหรับระยะทางรวม 45 เมตร), 35 เมตรในที่สองที่สี่ (สำหรับระยะทางรวม 80 เมตรจากหลังจากสี่วินาที) ตัวเลขเหล่านี้ได้สรุปไว้ในตารางด้านล่าง
ช่วงเวลาAve ความเร็วในช่วงเวลาระยะทางเดินทางในช่วงเวลาระยะทางรวมเดินทางมาจาก 0s ที่ส่วนท้ายของช่วงเวลา
0 - 1 s~ 5 m / s~ 5 เมตร~ 5 เมตร
1 -2 s~ 15 m / s~ 15 เมตร~ 20 เมตร
2 - 3 วินาที~ 25 m / s~ 25 เมตร~ 45 เมตร
3 - 4 ของ~ 35 m / s~ 35 เมตร~ 80 เมตร




หมายเหตุ: สัญลักษณ ~ ที่ใช้ที่นี่หมายถึงประมาณ

การสนทนานี้แสดงให้เห็นว่า วัตถุที่ตกอิสระ ที่จะเร่งตัวขึ้นในอัตราที่คงที่จะครอบคลุมระยะทางที่แตกต่างกันในแต่ละที่สองติดต่อกัน การวิเคราะห์ต่อไปของคอลัมน์แรกและสุดท้ายของข้อมูลข้างต้นแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างตารางรวมระยะทางและเวลาเดินทางในการเดินทางสำหรับวัตถุที่เริ่มต้นจากส่วนที่เหลือและเคลื่อนย้ายด้วยความเร่งคงที่ รวมระยะทางที่เดินทางเป็นสัดส่วนโดยตรงกับตารางเวลา ดังนั้นถ้าวัตถุเดินทางสำหรับสองครั้งก็จะครอบคลุมสี่ครั้ง (2 ^ 2) ระยะทาง; สี่ครั้งรวมระยะทางรวมระยะทางที่เดินทางหลังจากที่สองวินาทีหลังจากที่เดินทางไปคนที่สอง ถ้าวัตถุเดินทางสำหรับสามครั้งในเวลานั้นจะครอบคลุมถึงเก้าครั้ง (3 ^ 2) ระยะทาง; ระยะทางที่สามวินาทีหลังจากที่เป็นเก้าครั้งระยะทางที่เดินทางหลังหนึ่งที่สอง สุดท้ายหากวัตถ​​ุเดินทางสำหรับสี่ครั้งครั้งแล้วมันจะครอบคลุม 16 ครั้ง (4 ^ 2) ระยะทาง; ครั้ง 16 ระยะคือระยะทางที่เดินทางหลังจากที่สี่วินาทีหลังจากที่เดินทางไปคนที่สอง สำหรับวัตถุที่มีความเร่งคงที่, ระยะทางของการเดินทางเป็นสัดส่วนโดยตรงกับตารางเวลาของการเดินทาง

การคำนวณอัตราเร่งเฉลี่ย

เร่งเฉลี่ย () ของวัตถุมากกว่าช่วงเวลาที่กำหนด (t) ใด ๆ ที่สามารถคำนวณโดยใช้สมการ
สมการนี้สามารถนำมาใช้ในการคำนวณอัตราเร่งของวัตถุที่มีการเคลื่อนไหวเป็นภาพตาม ความเร็วเวลาตารางข้อมูล ข้างต้น ข้อมูลความเร็วเวลาในตารางแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่มีความเร่งจาก 10 m / s / s การคำนวณแสดงอยู่ด้านล่าง

ค่าความเร่งจะแสดงในหน่วยของความเร็วที่ / เวลา หน่วยการเร่งความเร็วโดยทั่วไปมีดังต่อไปนี้:
m / s / s
ไมล์ / hr / s
กม. / ชม. / s
m / s 2

หน่วยงานเหล่านี้อาจดูเหมือนเล็กน้อยอึดอัดใจที่จะเรียนฟิสิกส์จุดเริ่มต้น แต่พวกเขาเป็นหน่วยที่เหมาะสมมากเมื่อคุณเริ่มที่จะต้องพิจารณาความหมายและสมการสำหรับการเร่งความเร็ว เหตุผลที่หน่วยจะกลายเป็นที่เห็นได้ชัดเมื่อตรวจสอบของสมการเร่ง
นื่องจากการเร่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลาหน่วยในการเร่งความเร็วเป็นหน่วยหารด้วยหน่วยเวลา - จึง (m / s) / s หรือ (ไมล์ / ชั่วโมง) / s (m / s) / หน่วย s ได้ง่ายทางคณิตศาสตร์เพื่อ m / s 2

ทิศทางของเวกเตอร์ Acceleration

เนื่องจากการเร่งความเร็วเป็น ปริมาณเวกเตอร์ ก็มีทิศทางที่เกี่ยวข้องกับมัน ทิศทางของเวกเตอร์เร่งขึ้นอยู่กับสองสิ่ง:
  • ไม่ว่าจะเป็นวัตถุที่ถูกเร่งขึ้นหรือชะลอตัวลง
  • ว่าวัตถุมีการเคลื่อนไหวใน + หรือ - ทิศทาง

กฎทั่วไปของหัวแม่มือคือ:
ถ้าวัตถุที่ชะลอตัวลงนั้นเร่งความเร็วของมันเป็นไปในทิศทางตรงกันข้ามของการเคลื่อนไหวของมัน

กฎของหัวแม่มือนี้สามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าสัญญาณของการเร่งความเร็วของวัตถุที่เป็นบวกหรือลบทางขวาหรือซ้าย, ขึ้นหรือลง, ฯลฯ พิจารณาสองตารางข้อมูลด้านล่างนี้ ในแต่ละกรณีการเร่งความเร็วของวัตถุที่เป็นไปในทิศทางบวก ในตัวอย่างวัตถุเป็นไปในทิศทางบวก (คือมีความเร็วในเชิงบวก) และจะเร่งขึ้น เมื่อวัตถุมีการเร่งขึ้นอัตราเร่งเป็นไปในทิศทางเดียวกันว่าเป็นความเร็ว ดังนั้นวัตถุนี้มีอัตราเร่งในเชิงบวก ใน B ตัวอย่างเช่นวัตถุที่เป็นไปในทิศทางเชิงลบ (เช่นมีความเร็วเชิงลบ) และมีการชะลอตัวลง ตามกฎของหัวแม่มือของเราเมื่อวัตถุมีการชะลอตัวลงอัตราเร่งอยู่ในทิศทางที่ตรงข้ามว่าเป็นความเร็ว ดังนั้นวัตถุนี้ยังมีการเร่งความเร็วในเชิงบวก

เดียวกันนี้ กฎของหัวแม่มือ สามารถนำไปใช้การเคลื่อนไหวของวัตถุที่แสดงอยู่ในตารางสองตารางข้อมูลด้านล่างนี้ ในแต่ละกรณีการเร่งความเร็วของวัตถุที่เป็นไปในทิศทางเชิงลบ ใน C ตัวอย่างวัตถุเป็นไปในทิศทางบวก (คือมีความเร็วในเชิงบวก) และจะชะลอตัวลง ตามกฎของหัวแม่มือของเราเมื่อวัตถุมีการชะลอตัวลงอัตราเร่งเป็นไปในทิศทางที่เหมาะเจาะเช่นความเร็ว ดังนั้นวัตถุนี้มีการเร่งเชิงลบ ในตัวอย่าง D วัตถุเป็นไปในทิศทางเชิงลบ (เช่นมีความเร็วเชิงลบ) และจะเร่งขึ้น เมื่อวัตถุมีการเร่งขึ้นอัตราเร่งเป็นไปในทิศทางเดียวกันว่าเป็นความเร็ว ดังนั้นวัตถุนี้ยังมีการเร่งเชิงลบ


สังเกตการใช้ในเชิงบวกและเชิงลบที่ใช้ในการอภิปรายข้างต้น (ตัวอย่าง - D) ในฟิสิกส์, การใช้ในเชิงบวกและเชิงลบมักจะมีความหมายทางกายภาพ มันเป็นมากกว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เพียง ตามที่ใช้ที่นี่เพื่ออธิบายความเร็วและความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่, บวกและลบอธิบายทิศทาง ความเร็วและความเร่งทั้งสองมีปริมาณเวกเตอร์และคำอธิบายทั้งหมดของปริมาณความต้องการการใช้คำคุณศัพท์ทิศทาง นอร์ท, ใต้, ตะวันออก, ตะวันตก, ขวา, ซ้าย, ขึ้นและลงทุกคำคุณศัพท์ทิศทาง ฟิสิกส์มักจะยืมจากคณิตศาสตร์และใช้ + และ - สัญลักษณ์เป็นคำคุณศัพท์ทิศทาง สอดคล้องกับอนุสัญญาทางคณิตศาสตร์ที่ใช้บนเส้นจำนวนและกราฟในเชิงบวกมักจะหมายถึงไปทางขวาหรือขึ้นและเชิงลบมักจะหมายถึงไปทางซ้ายหรือลง ดังนั้นจะบอกว่าวัตถุที่มีความเร่งเชิงลบเช่นในตัวอย่าง C และ D ก็คือการบอกว่าการเร่งความเร็วของมันเป็นไปทางซ้ายหรือลง (หรือในสิ่งที่ทิศทางได้ถูกกำหนดให้เป็นลบ) ความเร่งเชิงลบไม่ได้หมายถึงค่าอัตราเร่งที่น้อยกว่า 0 การเร่งความเร็วของ -2 m / s / s คือการเร่งความเร็วที่มีขนาดของ 2 m / s / s ที่เป็นผู้กำกับในทิศทางเชิงลบ


-          การหาความชันของกราฟ

1.2   การเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่อง
       (Rectilinear Kinematics: Erratic Motion)
เมื่อการเคลื่อนที่ของอนุภาคภายในช่วงเวลาหนึ่ง ไม่ต่อเนื่องหรือไม่อาจที่จะคาดเดาลักษณะของการเคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลาที่พิจารณา การใช่สมการที่ผ่านมาอาจไม่เหมาะสม วิธีการที่เหมาะสมกว่าในการพิจารณาการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือการใช้กราฟแสดงการเคลื่อนที่ ซึ่งความชัน และ พื้นที่ใต้กราฟการเคลื่อนที่จะเป็นสิ่งบ่งบอกถึงปริมาณที่เกี่ยวข้องกับกราฟการเคลื่อนที่นั้น
สำหรับการใช้กราฟบอกถึงตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ มีดังนี้
กำหนดกราฟ s – t มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ v - t ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงตำแหน่งของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง หรือกราฟ s-t มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความเร็วในฟังก์ชันของเวลา หรือ v-t กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดความชัน (slope) ของกราฟ s-t ที่เวลานั้น เพื่อหาค่าความเร็ว เมื่อเวลาดังกล่าว
                              
ความชันของกราฟ s-t = ความเร็ว ที่เวลานั้น
กำหนดกราฟ v - t มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ a - t ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงความเร็ววัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง หรือกราฟ v-t มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความเร่งในฟังก์ชันของเวลา หรือ a-t กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดความชัน (slope) ของกราฟ v-t ที่เวลานั้น เพื่อหาค่าความเร่ง เมื่อเวลาดังกล่าว
                              
ความชันของกราฟ v-t = ความเร่ง ที่เวลานั้น
                    
กำหนดกราฟ a - t มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ v - t ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงความเร่งของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง หรือกราฟ a-t มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความเร็วในฟังก์ชันของเวลา หรือ v-t กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดพื้นที่ใต้กราฟของกราฟ a-t ในช่วงที่เวลากำหนด เพื่อหาค่าการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลาดังกล่าว
                             
การเปลี่ยนแปลงความเร็ว = พื้นที่ใต้กราฟของกราฟความเร่ง - เวลา ( a-t curve) ในระหว่างเวลานั้น
 
กำหนดกราฟ v - t มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ s - t ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง หรือกราฟ v-t มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา หรือ s-t กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดพื้นที่ใต้กราฟของกราฟ v-t ในช่วงที่เวลากำหนด เพื่อหาค่าการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งหรือการขจัดของวัตถุในช่วงเวลาดังกล่าว
                              
การขจัด = พื้นที่ใต้กราฟของกราฟความเร็ว - เวลา ( v-t curve) ในระหว่างเวลานั้น

กำหนดกราฟ a - t มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ v - s ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงความเร่งในฟังก์ชันของตำแหน่งของวัตถุ หรือกราฟ a-s มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความเร็วในฟังก์ชันตำแหน่ง หรือ v-s กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดพื้นที่ใต้กราฟของกราฟ a-s ในช่วงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งที่กำหนด เพื่อหาค่าพลังงานศักย์ต่อหน่วยมวล ในช่วงระยะการขจัดดังกล่าว
= พื้นที่ใต้กราฟของกราฟความเร่ง - การเคลื่อนที่ ( a-s curve) ในระหว่างการเคลื่อนที่นั้น
กำหนดกราฟ v - s มาให้ เราสามารถนำไปสร้างกราฟ a - s ได้
เมื่อมีการกำหนดกราฟแสดงความเร็วในฟังก์ชันของตำแหน่งของวัตถุ หรือกราฟ v-s มาให้เราสามารถที่จะสร้างกราฟที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความเร่งในฟังก์ชันตำแหน่ง หรือ a-s กราฟ ได้ ซึ่งเราจะต้องทำการวัดความเร็ว แล้วนำไปคูณกับความชันของกราฟที่ตำแหน่งนั้น เพื่อนำไปคำนวณหาความเร่งที่ตำแหน่งนั้น
                              
ความเร่ง = ความเร็วที่ตำแหน่งนั้นคูณกับความชันที่ตำแหน่งนั้น









-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง s-t, v-t และ a-t




1.กราฟความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัด (s) กับเวลา (t) 
สิ่งที่สามารถหาได้จากกราฟการกระจัดและเวลา คือ ความเร็วเฉลี่ย อัตราเร็วเฉลี่ย และความเร็วขณะใดๆ โดยแยกพิจารณาได้ดังนี้
ระยะทาง (s) คือ ความยาวตามเส้นทางที่อนุภาคเคลื่อนที่ผ่าน
ความเร็วเฉลี่ย และความเร็วเฉลี่ย(v ) หาได้จากสมการ [ A av = s/t]
ความเร็วขณะใดๆ หาได้จาก [v = ds/dt = ความชันของกราฟ s กับ t] 
              
 
       ไม่มีการเคลื่อนที่                                      มีการเคลื่อนที่ โดย v คงที่




2.กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว (v) กับเวลา (t)
เราพิจารณาค่าต่างๆ จากกราฟได้ดังนี้
 
1.ความชันของกราฟ v กับ t คือความเร่งของวัตถุ slope v/t = a
 
2.พื้นที่ใต้กราฟของ v กับ t คือการกระจัดหรือระยะทาง พื้นที่ใต้กราฟ = vt = s
 
3.ส่วนตัดแกน y คือ ความเร็วต้น 
ข้อควรจำ 
ถ้ากราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t มีทั้งบวกและลบ เราแยกพิจารณาได้ดังนี้
- ระยะทาง มีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใต้กราฟ v - t โดยไม่คิดเครื่องหมาย
- การกระจัด มีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใต้กราฟ v - t โดยคิดเครื่องหมายพื้นที่ด้วย
       

     มีการเคลื่อนที่ด้วย v  คงที่                   มีการเคลื่อนที่ด้วย a คงที่               พื้นที่ใต้กราฟ  คือการกระจัด

3.กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ง (a) กับเวลา (t)
กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งกับเวลา เราสามารถคำนวณหาความเร็วขณะใดๆ และการกระจัดหรือระยะทาง โดยแยกการพิจารณาได้ดังนี้

1) ถ้าต้องการหาความเร็วขณะใดๆ ให้คำนวณจากกราฟ กับ a ได้เลย t จะได้
v - u = พื้นที่ใต้กราฟ a กับ t
โดย v = ความเร็วปลาย และ u = ความเร็วต้น
2) ถ้าต้องการหาระยะทางหรือการกระจัด ให้แปลงกราฟ a กับ t เป็นกราฟ v กับ t เสียก่อน แล้วจึงค่อยคำนวณหาการกระจัด หรือระยะทางจากพื้นที่ใต้กราฟ v กับ t



-          การหาความเร็วและความเร่งจากกราฟ

ความเร่ง ความเร็ว

  •    ความเร่ง คือ ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเป็นปริมาณ เวคเตอร์
   vec{a} = {Delta{vec{v}}}/{Delta{t}}
หรือ
                                                                       vec{a} = {vec{v_2} - vec{v_1}}/{{t_2} - {t_1}}                                                                                                                                                                  
         เราสามารถหาค่าของความเร่งได้จากความชัน(slope) 
ถ้าข้อมูลให้เป็นกราฟ ความเร็ว กับ เวลา (v-t) 
ความเร่งขณะหนึง คือ ความเร่งในช่วงเวลาสั้นๆในกรณีที่เราหาความเร่ง เมื่อ t เข้าใกล้ศูนย์  ความเร่งขณะนั้นเราเรียกว่า ความเร่งขณะหนึ่ง    ถ้าข้อมูลเป็นกราฟ  หาได้จาก slope ของเส้นสัมผัส
                                                                                                                                                                                                            
ความเร่งเฉลี่ย คือ อัตราส่วนระหว่างความเร็วที่เปลี่ยนไปทั้งหมดกับช่วงเวลาที่เปลี่ยนความเร็วนั้น

กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ง (a) กับเวลา (t)

 สามารถหาความเร็วได้โดย
Delta{v} = พื้นที่ใต้กราฟ
{v_2} - {v_1} = พื้นที่ใต้กราฟ 

ข้อสังเกต
1 วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง วัตถุจะเคลื่นที่เร็วขึ้นเมื่อเวลาผ่าน
2 วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยเร็วคงตัวตลอดการเคลื่อนที่
3 วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความหน่วง วัตถุเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อเวลาผ่านไป


ตัวอย่างการคำนวณ
1 อนุภาคหนึ่งมีความเร็วของอนุภาคสัมพันธ์กับเวลาดังรูป จงหาความเร่งช่องเวลา 2-6 วินาที
คิดวิเคราะห์ : กราฟระหว่งความเร็ว (v) กับเวลา (t) หาความเร่งได้จากความชันของกราฟ
กราฟระหว่างความเร็ว (v) กับเวลา (t) หาความเร่งได้จากความชันของกราฟ
                                       วิธีทำ   จาก ความเร่ง = ความชันของกราฟช่วง 2 – 6 วินาที
                                                           vec{a}= {{v_2} - {v_1}}/{{t_2} - {t_1}}
                                                              = {4 -2}/{6 - 2}
                                                              = 0.5 เมตร/วินาที2
ความหน่วง (Deceleration)
      คือความเร่งที่มีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ ความหน่วงจึงมีเครื่องหมายเป็นลบ
      สำหรับการเรียนในชั้นนี้ เราจะเรียนเฉพาะกรณีความเร่งหรือความหน่วงคงที่เท่านั้น กราฟความเร่งจึงไม่ค่อยได้พบเท่าใดนัก
                                                                                                                                                                               
ความเร็ว
     คืออัตราการเปลี่ยนแปลงการขจัด เป็นปริมาณเวคเตอร์ แบ่งการพิจารณาได้เป็น 2 แบบคือ
1ความเร็วใดๆ (เราใช้สัญลักษณ์ vec{v} )คือความเร็วที่เกิดขึ้น ณ เวลาใดเวลาหนึ่งของการเคลื่อนที่ หรือคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเวลาสั้นมากๆ เราสามารถเขียนในความสัมพันธ์ของสมการได้
     ซึ่งความหมายของds/dt ก็คือค่า slop ของกราฟ vec{s}  กับ t ในทางคณิตศาสตร์นั้นเอง
    2 ความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity ) ใช้สัญลักษณ์vec{v}_av  คืออัตราส่วนของการขจัดต่อเวลา เมื่อการเปี่ยนแปลงเวลาอยู่ในช่วงยาวเป็นปริมาณเวคเตอร์ ซึ่งเขียนในความสัมพันธ์ได้
 อัตราเร็ว(Speed)
   คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเป็นปริมาณสเกวลาร์ แยกการพิจารณาได้เป็น 2 แบบคือ 
1 อัตราเร็วขณะใดๆ(v) คืออัตราส่วนของระยะทางต่อเวลาเมื่อการเปลี่ยนแปลงเวลาอยู่ในช่วงสั้นๆ อัตราเร็วใดๆ จะมีขนาดเท่ากับขนาดของความเร็วขณะนั้นๆ ซึ่งเขียนในความสัมพัมธ์ได้
 2 อัตราเร็วเฉลี่ย{v_av} คืออัตราส่วนของระยะทางต่อเวลาเมื่การเปลี่ยนแปลงเวลาอยู่ช่วงยาว เขียนในความสัมพัมธ์ได้
 หมายเหตุ    
1  อัตราเร็วขณะใดๆ ก็คือขนาดของความเร็วขณะนั้นๆ เสมอ                 
 2   อัตราเร็วเฉลี่ยจะมีค่าเท่ากับความเร็วเฉลี่ยในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงที่ไม่มีการถอยหลังกลับเท่านั้น





-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว(v) และ เวลา (t)


กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว (v) กับเวลา (t)
เราพิจารณาค่าต่างๆ จากกราฟได้ดังนี้
 
1.ความชันของกราฟ v กับ t คือความเร่งของวัตถุ slope v/t = a
 
2.พื้นที่ใต้กราฟของ v กับ t คือการกระจัดหรือระยะทาง พื้นที่ใต้กราฟ = vt = s
 
3.ส่วนตัดแกน y คือ ความเร็วต้น 
ถ้ากราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t มีทั้งบวกและลบ เราแยกพิจารณาได้ดังนี้
- ระยะทาง มีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใต้กราฟ v - t โดยไม่คิดเครื่องหมาย
- การกระจัด มีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใต้กราฟ v - t โดยคิดเครื่องหมายพื้นที่ด้วย
       

     มีการเคลื่อนที่ด้วย v  คงที่                   มีการเคลื่อนที่ด้วย a คงที่               พื้นที่ใต้กราฟ  คือการกระจัด



-          สมการการเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งคงที่



การเคลื่อนที่ ด้วย ความเร็ว ความเร่ง และ การเคลื่อนที่ในแนวตรง


การเคลื่อนที่ ในแนวตรง
 อัตราเร็ว คือการเปลี่ยนแปลง ระยะทาง ต่อเวลา
 อัตราเร็วเฉลี่ย เมตร/วินาที(m/s)อัตราเร็วเฉลี่ย หน่วย เมตร/วินาที(m/s)
  s = ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ (m) ตามแนวเคลื่อนที่จริง
  t = เวลาในการเคลื่อนที่ (s)
   
 ความเร็ว คือ การเปลี่ยน แปลงการกระจัด
 ความเร็วเฉลี่ย หน่วย เมตร/วินาที (m/s)ความเร็วเฉลี่ย หน่วย เมตร/วินาที (m/s)
  s = การกระจัด (m) คือ ระยะทางที่สั้นที่สุดในการย้ายตำแหน่ง หนึ่งไป อีกตำแหน่งหนึ่ง
   
 ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยน ความเร็ว
 ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยน ความเร็วความเร่ง หน่วย เมตรต่อ วินาที2( m/s2)
  a = ความเร่ง
แสดง เป็นกราฟ
การกระจัดกับเวลาความเร็วกับเวลาความเร่งกับเวลา
ความเร็ว เวลา ความเร่ง เวลา การกระจัดเวลา

การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
 การเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งคงที่ มีสูตรดังนี้
 s = vtการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงu = ความเร็วเริ่มต้น (m/s)
v = ความเร็วตอนปลาย (m/s )
s = ระยะทาง(m)
a = ความเร่ง ( m/s2)
  
 การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก
 1.v = u - gtu = ความเร็วต้น เป็น + เสมอ
 การเคลื่อนที่ ในแนวดิ่งภายใต้ แรงดึงดูดของโลก
v = ความเร็วปลาย + ถ้าทิศเดียวกับ u และเป็น - ถ้าทิศตรงขามกับ u
s หรือ h = ระยะทางเป็น + ตอนวิ่งขึ้น และเป็น - ตอนวิ่งลง
 3.v2 = u 2+2ghg = ความเร่งจากแรงโน้มถ่วง
   











-          สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่งด้วยความเร่งคงที่
เปลี่ยนสมการ 
เลือกสมการการแก้ปัญหาสำหรับที่ไม่รู้จักที่แตกต่างกัน 

ความเร็วในแนวดิ่ง 
ความเร็วในแนวดิ่งในเวลาความเร็วในแนวดิ่งในเวลา
ความเร็วในแนวตั้งเริ่มต้นความเร็วในแนวตั้งเริ่มต้น
การเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วง
เวลาเวลา

การกระจัดในแนวตั้ง 
การกระจัดในแนวตั้งในเวลาการกระจัดในแนวตั้งในเวลา
ความเร็วในแนวตั้งเริ่มต้นความเร็วในแนวตั้งเริ่มต้น
เวลาเวลา - รากที่สองสมการกำลังสองเพิ่ม
เวลาเวลา - รากที่สองสมการกำลังสองลบ
การเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วง

ความเร็วในแนวนอน 
ความเร็วในแนวนอนได้ตลอดเวลาความเร็วในแนวนอนได้ตลอดเวลา

การกระจัดในแนวนอน 
ความเร็วในแนวนอนได้ตลอดเวลาความเร็วในแนวนอนได้ตลอดเวลา
ความเร็วในแนวนอนเริ่มต้นความเร็วในแนวนอนเริ่มต้น
เวลาเวลา
ช่วงที่กำหนดมุมการฉายและ 
ระดับเริ่มต้นและขั้นสุดท้ายเท่ากับ 
ช่วงช่วง
ความเร็วเริ่มต้นความเร็วเริ่มต้น
การเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วง




-          การคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้แรงดึงดูดของโลก

กาลิเลโอ ได้ทำการทดลองให้เห็นว่า วัตถุที่ตกลงสู่พื้นโลกอย่างอิสระ จะเคลื่อนที่ภายใต้แรงดึงดูดของโลก ต่อมานิวตันสังเกตุเห็นว่า ทำไมดวงจันทร์ไม่ลอยหลุดออกไปจากโลก ทำไมผลแอปเปิ้ลจึงตกลงสู่พื้นดิน นิวตันได้ทำการศึกษาค้นคว้าต่อ จนในที่สุดก็สามารถพิสูจน์ในเรื่องกฎแห่งการดึงดูดของ สสาร โดยโลกและดวงจันทร์ต่างมีแรงดึงดูดซึ่งกันและ กัน แต่เนื่องจากดวงจันทร์โคจรรอบโลก จึงมีแรงหนีสู่ศูนย์กลางซึ่งต่อต้านแรงดึงดูดไว้ ทำให้ดวงจันทร์ลอยโคจรรอบโลกได้ แต่ผลแอปเปิ้ลกับโลกก็มีแรงดึงดูดระหว่างกัน ผลแอปเปิ้ลเมื่อหลุดจากขั้วจึงเคลื่อนที่อิสระตามแรงดึงดูดนั้น
การตกอย่างอิสระนี้ วัตถุจะเคลื่อนตัวด้วยความเร่ง ซึ่งเรียกว่า Gravitational acceleration หรือ g ซึ่งมีค่าประมาณ 9.8 m/s
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งนี้จึงเป็นไปตาม กฎการเคลื่อนที่ ดังนี้
ตัวอย่างเช่น ขว้างหินจากชั้น 4 ของตึกขึ้นไปในแนวดิ่ง ด้วยความเร็ว 10 m/s ณ จุดที่มีความสูง 14 เมตร จงหาว่าก้อนหินใช้เวลาอยู่ในอากาศนานเท่าใดจึง ตกถึงพื้น และความเร็วขณะถึงพื้นเป็นเท่าใด
ระยะทาง


จากการคำนวณหาความเร็วสุดท้าย
แทนค่าได้


เมื่อทราบความเร็วต้น และความเร็วสุดท้าย



ความเร็วต้นมีทิศเป็นลบ
ความเร็วปลายมีทิศเป็นบวก
อัตราเร่ง g มีทิศตรงข้ามกับทิศทางที่ขว้าง จึงมีค่าเป็นลบ



v = u + 2gs
v = (10) + 2(-9.81) x (-14) = 374.7
v = 19.36












-          ความเร็วสัมพัทธ์(Relative Velocity)





XXเราคงเคยสังเกตความเร็วของรถที่วิ่งสวนทางกับรถที่เรานั่งอยู่ หรือความเร็วของรถคันที่รถเราวิ่งแซงนะครับ ซึ่งเราจะพบว่า ความเร็วของรถที่วิ่งสวนทางเราดูเหมือนจะมีความเร็วสูงเป็นพิเศษ แต่ความเร็วของรถคันที่ถูกเราแซงกลับมีความเร็วที่ช้าผิดปกติ เราอาจจะสงสัยว่าเอะ! เกิดอะไรขึ้น...ปรากฎการณ์ความเร็วที่เปลี่ยนไปนี้ เราเรียกว่า ความเร็วสัมพัทธ์ (Relative Velocity) ลองดูตัวอย่างเหตุการณ์นี้ครับ...
XXXXXXXจากภาพ เราสามารถบอกได้ว่า รถ B วิ่งแซงหน้ารถ A และคนขับรถ B สังเกตเห็นรถ A วิ่งด้วยความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»-«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«/math» นั่นคือ รถ A วิ่งห่างออกไปข้างหลังรถ B เราเรียกว่า ความเร็ว A สัมพัทธ์กับ B («math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math») ในทางตรงข้ามกัน คนขับรถ A จะสังเกตเห็นรถ B วิ่งด้วยความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»-«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«/math» นั่นคือ รถ B วิ่งแซงหน้าไปด้วยความเร็ว 5 m/s เราเรียกว่า ความเร็ว B สัมพัทธ์กับ A («math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»BA«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math»)
XXXXXXXจากภาพ เหตุการณ์ที่สอง เราสามารถบอกได้ว่า รถ B วิ่งสวนทางกับรถ A และคนขับรถ B สังเกตเห็นรถ A วิ่งสวนทางไปด้วยความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»-«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»15«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»25«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«/math» นั่นคือ รถ A วิ่งสวนทางไปข้างหลัง (เครื่องหมายติดลบ -) รถ B ด้วยความเร็วขนาด 25 เมตรต่อวินาที และเราเรียกว่า ความเร็ว A สัมพัทธ์กับ B («math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math») ในทำนองเดียวกัน คนขับรถ A ก็จะเห็นรถ B วิ่งด้วยความเร็วเดียวกันนี้แต่ทิศตรงข้ามกัน
XXXXXXXเพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น เราสามารถสรุปได้ว่า การหาความเร็วสัมพัทธ์ ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ไปทิศทางเดียวกัน หรือสวนทางกัน หาได้จาก “ความเร็วของวัตถุ – ความเร็วของผู้สังเกต” เขียนเป็นสมการได้ว่า
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»-«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math»
Xเมื่อ     «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» เป็นความเร็วของวัตถุ A สัมพัทธ์กับ B
XXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» เป็นความเร็วของวัตถุ A สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย
XXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»V«/mi»«mi»b«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» เป็นความเร็วของวัตถุ B สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย
หมายเหตุ 1. การรวมความเร็วข้างต้น เป็นไปตามพีชคณิตแบบเวกเตอร์ เนื่องจากความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์
XXXXXXX2. ความเร็วของวัตถุ A สัมพัทธ์กับ B หมายความว่า ความเร็วของวัตถุ A ที่ผู้สังเกต B วัดได้

กรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial Frame)
XXXXXXXในการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ เราต้องระบุว่าวัตถุนั้นอยู่ที่ตำแหน่งไหน ณ เวลาใด แล้วเราจะระบุตำแหน่งของวัตถุนั้นเทียบกับอะไร ดังนั้นเราจึงต้องหาตำแหน่งหรือพิกัด (Coordinate) ที่ใช้อ้างอิง โดยจุดอ้างอิงนี้เราเรียกว่าจุดกำเนิด (origin) โดยทั่วไปเราจะใช้ระบบพิกัดแบบคาทีเซียน (Cartesian coordinate system) คือการระบุตำแหน่งของวัตถุในพิกัดฉาก เป็น แกน x, y และ z เช่น วัตถุนั้นอยู่ห่างจากจุดอ้างอิงทางทิศใต้ ตามแกน x เป็นระยะ 5 เมตร ทางทิศตะวันออกตามแกน y เป็นระยะ 3 เมตร และสูงจากพื้นดินในแนวดิ่ง ตามแกน z เป็นระยะ 6 เมตร เป็นต้น
XXXXXXXแต่กรอบอ้างอิงที่เราใช้บอกตำแหน่งของวัตถุอาจมีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงอื่นๆ เช่น เรานั่งนิ่งๆ อยู่ในรถ ในขณะที่รถเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับโลก และโลกเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับดวงอาทิตย์ และดวงอาทิตย์เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับกาแลกซี่ทางช้างเผือก เป็นต้น ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องนิยาม กรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial Frame) เป็นกรอบอ้างอิงที่กฎทางฟิสิกส์เป็นจริงเสมอ หรือ กรอบอ้างอิงซึ่งอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวสัมพัทธ์กับโลก(ศัพท์วิทยาศาสตร์ราชมงคล)
XXXXXXXการหาความเร็วสัมพัทธ์ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ ในที่นี้เราพิจารณาแบบกลศาสตร์แผนเดิม (Classical Mechanics) กล่าวคือ วัตถุมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วน้อยกว่าความเร็วแสงมากๆ («math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»§lt;«/mo»«mo»§lt;«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เมื่อ c คือความเร็วแสง มีค่าประมาณ 300,000 กิโลเมตรต่อวินาที) ซึ่งถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วใกล้ความเร็วแสงเราจะอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (Special theory of relativity) เสนอโดยไอน์สไตน์ (Albert Einstein) ในปี ค.ศ. 1905

XXXXXXXกำหนดให้ผู้สังเกต A อยู่ในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่ง «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»O«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»,«/mo»«mi»z«/mi»«mo»)«/mo»«/math» สังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»O«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»,«/mo»«mi»z«/mi»«mo»§apos;«/mo»«mo»)«/mo»«/math» โดยที่กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่มีความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/mrow»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»O«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/math» ผู้สังเกต A สังเกตเห็นวัตถุนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«mi»u«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» ดังภาพ
Xผู้สังเกต A จะสังเกตเห็นวัตุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

XXXXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«mi»u«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»+«/mo»«mover accent=¨true¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»§apos;«/mo»«/mrow»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math»
ตัวอย่าง รถยนต์ A มีความเร็ว 20 เมตร/วินาที รถยนต์ B มีความเร็ว 15 เมตร/วินาที เคลื่อนที่แนวเส้นตรง จงหาความเร็วของรถยนต์ A สัมพัทธ์กับรถยนต์ B เมื่อ รถยนต์ A วิ่งไปทางทิศตะวันออก ส่วนรถยนต์ B เคลื่อนที่ไปทางทิศเหนือ 
แนวคิด การแก้ปัญหาเริ่มจากการเขียนเวกเตอร์ความเร็วตามที่โจทย์กำหนดให้ แล้วหาเวกเตอร์ลัพธ์ เป็นความเร็วสัมพัทธ์
XXXXXXXจาก  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»=«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mo»-«/mo»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/math» จะได้ว่า
XXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msubsup»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mo»+«/mo»«msubsup»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»20«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»15«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mover accent=¨true¨»«msub»«mi»v«/mi»«mi»AB«/mi»«/msub»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»25«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
XXXXXXXและ         «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»tan§#945;«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»v«/mi»«mi»B«/mi»«/msub»«msub»«mi»v«/mi»«mi»A«/mi»«/msub»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»20«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
XXXXXXXดังนั้น  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#945;«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math» หรือ  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mn»37«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/math»
ตอบ ความเร็วของรถยนต์ A สัมพัทธ์กับรถยนต์ B เท่ากับ 25 เมตร/วินาที มีทิศตะวันออกเฉียงไปทางใต้ 37 องศา

ตัวอย่าง น้ำในแม่น้ำไหลด้วยความเร็ว 16 เมตร/วินาที ชายคนหนึ่งพายเรือด้วยอัตราเร็วในน้ำนิ่ง 12 เมตร/วินาที โดยตั้งหัวเรือไปยังฝั่งตรงข้าม จงหาว่าเรือจะแล่นไปทางทิศใด และถ้าแม่น้ำกว้าง 600 เมตร เรือจะถึงฝั่งตรงข้าม ห่างจากจุดตั้งต้นเท่าใด
แนวคิด ในกรณีนี้เป็นการพิจารณาความเร็วสัมพัทธ์ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย คือ โลกหรือพื้นดินเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย โดยเริ่มจากเขียนเวกเตอร์แสดงความเร็วของเรือ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»Boat«/mi»«/msub»«/math» ความเร็วของกระแสน้ำ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»Water«/mi»«/msub»«/math» แล้วหาเวกเตอร์ลัพธ์ เป็นความเร็วสัมพัทธ์ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»BW«/mi»«/msub»«/math»
XXXจากโจทย์หาความเร็วสัมพัทธ์ ได้จาก
XXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msub»«mover accent=¨true¨»«mrow»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»BW«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»Boat«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»Water«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«msub»«mover accent=¨true¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«/mover»«mi»BW«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msub»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»Boat«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»Water«/mi»«/msub»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»12«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»16«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
XXXXXXXและ

XXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»tan§#952;«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«msub»«mi»v«/mi»«mi»Water«/mi»«/msub»«msub»«mi»v«/mi»«mi»Boat«/mi»«/msub»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
XXXXXXXดังนั้น  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»§#952;«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math» หรือ  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mn»53«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/math»
XXXXXXดังนั้น เรือจะแล่นในทิศทำมุม 53 องศา กับแนวตรงข้างจุดเริ่มต้น ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาที
XXXXXXXและเรือจะถึงฝั่งตรงข้าม ห่างจากจุดตั้งต้น หาได้จาก
XXXXXXXXXXXXXX«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»§#952;«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«msub»«mi»v«/mi»«mi»Water«/mi»«/msub»«msub»«mi»v«/mi»«mi»Boat«/mi»«/msub»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»600«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»600«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»800«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»m«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
XXXXXXXดังนั้น เรือจะถึงฝั่งตรงข้าม ห้างจากแนวจุดเริ่มต้น 800 เมตร






-          การเคลื่อนที่ในสองมิติและสามมิติ


การเคลื่อนที่ในสองมิติ และสามมิติ           การเคลื่อนที่ในสองมิติสามารถแยกคิดแบบการเคลื่อนที่หนึ่งมิติที่ตั้งฉากกัน และสามารถ นำการคิดสองทางนั้นมาประกอบกันหรือนำมารวมกันแบบเวกเตอร์ได้ ตามแนวของแกนสามแกนที่ ตั้งฉากซึ่งกัน  คือ  ตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XYZ สำหรับการเคลื่อนที่สามมิติ และตามแกน ของระบบโคออร์ดิเนต XY สำหรับการเคลื่อน ที่สองมิติ ตำแหน่งของวัตถุในสองมิติที่จุด P ที่เวลา  กำหนดได้ด้วยค่า และ ทางแกน X และแกน Y ตามลำดับ และตำแหน่งของวัตถุนั้นที่เวลา  (จุด Q) สมมติ
ให้เป็น และ การกระจัดหรือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งระหว่างสองจุดนั้นให้เป็น ไปตามเส้นโค้งดังรูป
                  
                         รูป แสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลา กับ 
ความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง X คือ

และความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง Y คือ

เมื่อ กับ เข้าใกล้กันมาก ๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเช่นเดียวกับการคิดในหนึ่งมิติ
 



-          เวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในสองมิติ


  ดังตัวอย่างการเคลื่อนที่ที่ผ่านมา อาจคิดว่า เวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1 เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (position vector) ที่เวลา \displaystyle t_1  สำหรับวัตถุที่มีค่าทาง x เป็น \displaystyle x_1 และมีค่า y เป็น\displaystyle y_1 เวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  จะมีขนาดและทิศชัดเจนเทียบกับจุดกำเนิดของโคออร์ดิเนต เมื่อเวลาเปลี่ยนเป็น \displaystyle t_2  ตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนไปเป็นเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br /> \over R} _2
                องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  คือ \displaystyle x_1  องค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  คือ ค่า\displaystyle y_1  องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2  คือ \displaystyle x_2  และองค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2 คือ\displaystyle y_2
                  ความเร็วเฉลี่ยสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ได้เป็น

\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{av} = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2 - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1 }}{{t_2 - t_1 }}          

 โดยมีองค์ประกอบทาง x และ y เป็นไปตามที่ได้เขียนมาแล้ว

                อัตราเร็วเฉลี่ย สำหรับการเคลื่อนที่ในสองมิติเช่นนี้ จะต่างจากความเร็วเฉลี่ยอย่างเห็นได้ชัดคือ ขนาดของอัตราเร็วเฉลี่ยระหว่างจุด P และ Q จะต้องคิดมาจากระยะทางตามเส้นโค้งตามเส้นทางของการเคลื่อนที่หารด้วยเวลา ในขณะที่ขนาดของความเร็วเฉลี่ยจะเป็นระยะทางตามเส้นตรงระหว่าง P และ Qหารด้วยเวลา ดังนั้น หากการเคลื่อนที่เป็นไปตามกราฟในรูป 2.6 อัตราเร็วเฉลี่ยจะมีค่ามากกว่าขนาดของความเร็วเฉลี่ย แต่เมื่อพิจารณาจุด P และ Q ที่เข้าใกล้กันมากขึ้น อัตราเร็วที่จุด Q ซึ่งเป็นอัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่ง จะมีขนาดเท่ากับขนาดของความเร็วขณะใดฯหนึ่งที่จุด Q นั่นเอง อัตราเร็วที่จุด Q ไม่จำเป็นต้องบอกทิศของการเคลื่อนที่ หรือไม่ใส่ใจเรื่องทิศว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทางใด ส่วนความเร็วที่จุด Q จะต้องกำหนดหรือรู้ชัดว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทางทิศใดด้วย

                 นักเรียนจะได้เรียนเรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊สในบทหนึ่งข้างหน้า ซึ่งจะได้ภาพว่าโมเลกุลของแก๊สในภาชนะปิดลอยอยู่ห่างๆกัน ไม่มีโมเลกุลที่อยู่นั่ง ทุกโมเลกุลเคลื่อนที่อยู่ตลอดเวลาด้วยอัตราเร็วต่างๆกัน และเคลื่อนที่ในทิศทางต่างๆ โดยมีความสมมาตร (symmetry) เชิงทิศทาง นั่นคือ ความเร็วที่ไปในทิศใดทิศหนึ่งก็เหมือนกับความเร็วที่ไปในทิศอื่นๆโดยรอบ ทำให้ความเร็วเฉลี่ยในทุกโมเลกุล (เป็นการเฉลี่ยระหว่างหลายๆโมเลกุลแทนที่จะเป็นการเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ยาวขึ้น) มีค่าเป็นศูนย์ (ทำให้แก๊สทั้งหมดไม่ได้เคลื่อนที่ไปทางใด) แต่อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของแก๊สนี้จะไม่เป็นศูนย์ หรือการเฉลี่ยเฉเพาะขนาดของความเร็วโดยไม่คิดทิศ (ไม่เฉลี่ยแบบเวกเตอร์) จะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงควรใช้คำอัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลซึ่งไม่เกี่ยวกับทิศของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล

                 สำหรับการเคลื่อนที่ของรถยนต์บนถนนนั้น บ่อยครั้งที่เราสนใจว่า รถเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่าใด โดยไม่สนใจนักว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทิศใด การเดินทางด้วยรถยนต์จากเมืองหนึ่งไปอีกเมืองหนึ่ง ก็จำเป็นที่รถต้องไปตามถนนระหว่างสองเมืองนั้น ระยะทางตามถนนมีความสำคัญกว่าระยะทางตามเส้นตรงระหว่างเมืองตามแผนที่ ดังนั้นอัตราเร็วของรถมีความสำคัญต่อผู้ใช้รถ และในทางปฏิบัติเครื่องมือที่จะวัดอัตราเร็วของรถสามารถทำได้ง่ายกว่าการวัดความเร็ว เพราะการวัดทิศที่ขนาดต่างๆ จะทำได้ยาก เครื่องวัดในรถเป็นเครื่องแสดงอัตราเร็วหรือเป็น “มาตรอัตราเร็ว” (speedometer) โดยวัดจาดอัตราเร็วของการหมุนของล้อและขนาดของยางที่ใช้ ดังนั้นการใช้ยางที่ไม่เป็นไปตามการกำหนดของรถ จะทำให้มาตรวัดอัตราเร็วแสดงผลผิดจากความเป็นจริง หรือยางเก่าที่ใช้สึกหรอไปมาก จะทำให้อัตราเร็วผิดไปได้เล็กน้อยและได้ระยะทางสะสมที่ผิดไปด้วย









-          ตัวอย่างโจทย์ เรื่องการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ


เรื่อง การเคลื่อนที่ใน 1 มิติ
1.    ตำแหน่งและการกระจัด

ตำแหน่ง( Position) คือ การบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของที่เราพิจารณาอยู่ที่ใด เทียบกับจุดอ้างอิง
          วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง X=Xที่เวลา t หมายถึง วัตถุอยู่ที่ระยะทาง Xจากจุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลา t
          ถ้าวัตถุเลื่อนที่ไปอยู่ที่ Xที่เวลา tแสดงว่า วัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา t และ t
 

-X                                                                                  +X
                   0                    X                X

การกระจัด ( Displacement)
          การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก X=Xไปเป็น X=Xหรือ X- X
การกระจัด หมายถึง การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ (สมดุล)

2.    ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย
ความเร็ว( Velocity) คือการกระจัดต่อเวลา
ความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity) คือการกระจัดหารด้วยช่วงเวลา


                   V= 

{= X- X, = t- t}
          อัตราเร็ว (Speed) เป็นปริมาณสเกลาร์ หมายถึงระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางหารด้วยเวลา
          พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก Xไป Xและจาก Xกลับมา X ใช้เวลาทั้งหมด t- t
 

-X                                                                        +X

   O            X               X         X
อัตราเร็วเฉลี่ย = +/ (t- t)
ความเร็ว = X- X/ t- t

3.    ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง( V)
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ( Instantaneous velocity) คือความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาสั้นมากขณะผ่านจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง

              V=
    

4.    ความเร่ง
ความเร่ง (Acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา
ถ้าที่เวลา tวัตถุมีความเร็ว Vและที่เวลาก่อนนั้นคือ t วัตถุมีความเร็ว V

ความเร่งเฉลี่ย  =         a=

ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง =     a=

อัตราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่คิดทิศทางเช่นเดียวกับอัตราเร็ว


สรุปสูตร

          V= u+at
          S= ()t
          S= ut+at
          v= u+2as


การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

By Mr.Worathep Ghetthalea 10 มิ.ย 2555
การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ เป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ โดยในที่นี้ ให้เป็นการเคลื่อนที่ ในแนวแกน x และแกน y พร้อมกัน โดยมี แบบแผนที่ใช้คำนวณการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์มี 3 ข้อดังนี้
1.กำหนดให้การเคลื่อนที่ในแนวราบ (ตามแกน x) เป็นการเคลื่อนที่ซึ่งขนานกับพื้นผิวโลก และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ไม่มีความเร่งเข้ามาเกี่ยวข้อง ส่งผลให้ หาค่าระยะทาง หรือ เวลาได้ด้วยความรู้เรื่องการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
การเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่(ความเร่งเป็นศูนย์) ทำให้ V1 จนถึง V7 มีขนาดและทิศทางเท่ากันตลอด
2.กำหนดให้การเคลื่อนที่ในดิ่ง (ตามแกน y)  หรือตั้งฉากกับพื้นโลก ทำให้การเคลื่อนที่ตามแนวแกน y เป็นการเคลื่อนที่แบบมีความเร่งเป็น g (ความเร่งจากแรงโน้มถ่วงของโลก) g มีทิศชี้ลงดิน หรือ -y
การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ ( ความเร่ง -g )ทำให้ V มีขนาดลดลด จนถึง V6 มีขนาดเป็นศูนย์
การหาค่าระยะทาง หรือ เวลาได้ด้วยความรู้เรื่องการเคลื่อนที่แบบมีความเร่งด้วยชุดสมการ
3.การเคลื่อนที่ของวัตถุอยู่ในบริเวณใกล้พื้นผิวโลก เพื่อให้สรุปได้ว่า ความเร่งของการเคลื่อนที่เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกมีค่าคงที่
จากข้อ 1 ,2 และ 3 แสดงได้ดังรูปด้านล่าง
คำถามที่สำคัญดังต่อไปนี้
1.ลูกปืนขึ้นไปได้สูงสุดกี่เมตร ? หรือขึ้นไปตามแกน y ได้สูงสูดเท่าใด
สิ่งที่ต้องทราบคือเมื่อลูกปืนขึ้นไปได้สูงสุด เป็นสิ่งที่บอกเราว่าขณะนั้นลูกปืนมีความเร็วตามแนวแกน y เป็นศูนย์
สมการที่เกี่ยวข้องกับระยะทางจากชุดสมการข้างต้นคือ
เพื่อจะหาค่า s ให้ได้เราต้องแทนค่าความเร็วต้น ระยะเวลา และ ความเร่ง ในที่นี้ความเร่งคือ -g หรือ -10 m/s^2
ส่วนใหญ่แล้วคำถามจะบอกความเร็วต้นมาให้แล้วให้เราหาค่าเวลา t เอาเองซึ่งหาได้จากสมการ
จากเวลาที่เราได้นำไปหาค่าระยะทางสูงสุดได้
ในที่นี้ ay ก็คือความเร่งตามแนวแกน y มีค่าเป็น -10 m/s^2
ในที่นี้ uy ก็คือความเร็วของลูกปืนในแนวแกน y หรือความเร็วในแนวดิ่ง
หรืออาจจะหาค่าระยะสูงสุดจาก
2.ลูกปืนต้อง้ใช้เวลาเท่าใด จึงจะขึ้นไปได้สูงสุด?
3.ลูกปืนยิงไปได้ไกลที่สุดกี่เมตร? หรือถามว่าไปตามแกน x ได้ไกลที่สุดเท่าไหร่ ?
เริ่มแรกก็ต้องหาเวลาให้ได้ก่อนว่าลูกปืนลอยอยู่ในอากาศนานเท่าใดซึ่งหาได้จาก
เลข 2 มากจากเวลาที่ลูกปืนใช้จนกระทั่งลอยขึ้นสู่จุดสูงสุดตามแนวแกน y รวมกับ เวลาที่ตกกลับมาที่ระดับเดิมคือที่ปากกระบอก ซึ่งมีค่าเท่ากัน
4.ลูกปืนใช้เวลาเท่าไดอยู่ในอากาศ ก่อนตกลงสู่พื้นดิน?



อ่านแล้ว งง ต้องอ่านใหม่ พิจารณาถึงความแตกต่าง
Sx คือระยะทางตามแนวแกน x คือ ระยะทางตามแนวราบ
Sy คือระยะทางตามแนวแกน y คือ ระยะทางตามแนวดิ่ง
Ux คือความเร็วต้นในแนวแกน x คือ ความเร็วต้นตามแนวราบ
Uy คือความเร็วต้นในแนวแกน y คือ ความเร็วต้นตามแนวดิ่ง
Vx คือความเร็วปลายในแนวแกน x คือ ความเร็วปลายตามแนวราบ
Vy คือความเร็วปลายในแนวแกน y คือ ความเร็วปลายตามแนวดิ่ง
ax คือความเร่งในแนวแกน x คือ ความเร่งตามแนวราบ ซึ่งมีค่าเท่ากับ ศูนย์
ay คือความเร่งในแนวแกน y คือ ความเร่งตามแนวดิ่ง ซึ่งมีค่าเท่ากับ -g หรือ -10 m/s^2





เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)